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三角函数×幂函数积分公式

来源:大强公式网 2024-07-11 06:21:42

三角函数和幂函数是高中数学中非常重要的概念,们在积分中也有着广泛的应用大~强~公~式~网。本文将介绍三角函数和幂函数的积分公式,以及如何应用这些公式求解具体的积分问题。

三角函数×幂函数积分公式(1)

一、三角函数的积分公式

  1. $\int \sin x \mathrm{d}x=-\cos x+C$

  2. $\int \cos x \mathrm{d}x=\sin x+C$

  3. $\int \tan x \mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C$

  4. $\int \cot x \mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C$

  5. $\int \sec x \mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

6. $\int \csc x \mathrm{d}x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

这些公式是高中数学中非常的,我们可以通过简单的推导来证明们的正确。例如,对于第一个公式,我们可以使用导数的定义来进推导:

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\cos x)&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\cos(x+\Delta x)+\cos x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\cos x \cos \Delta x+\sin x \sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \sin \Delta x}{\Delta x}\\ &=\cos x \end{aligned}$$

  此,我们得到了 $\int \sin x \mathrm{d}x=-\cos x+C$大强公式网www.chajian68.com

  类似地,我们可以使用导数的定义来推导其他的三角函数积分公式。需要注意的是,在积分 $\tan x$ 和 $\cot x$ 时,我们需要分别考虑 $x$ 的取值在 $\frac{\pi}{2}+k\pi$ 和 $k\pi$ 的情况,其中 $k$ 是任意整数。

二、幂函数的积分公式

  1. $\int x^n \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$

  2. $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\ln |x|+C$

  3. $\int e^x \mathrm{d}x=e^x+C$

4. $\int a^x \mathrm{d}x=\frac{1}{\ln a}a^x+C$

5. $\int \sinh x \mathrm{d}x=\cosh x+C$

  6. $\int \cosh x \mathrm{d}x=\sinh x+C$

这些公式同样是高中数学中非常的,们的正确也可以通过简单的推导来证明来自www.chajian68.com。例如,对于第一个公式,我们可以使用导数的定义来进推导:

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{n+1}x^{n+1})&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{n+1}(x+\Delta x)^{n+1}-\frac{1}{n+1}x^{n+1}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{n+1}(x^{n+1}+(n+1)x^n\Delta x+\cdots+\Delta x^{n+1})-\frac{1}{n+1}x^{n+1}}{\Delta x}\\ &=x^n \end{aligned}$$

此,我们得到了 $\int x^n \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$。

  同样地,我们可以使用导数的定义来推导其他的幂函数积分公式。需要注意的是,在积分 $\frac{1}{x}$ 和 $a^x$ 时,我们需要分别考虑 $x$ 的取值在 $0$ 和 $1$ 的情况ujXm

三角函数×幂函数积分公式(2)

三、三角函数和幂函数的积分公式的应用

  三角函数和幂函数的积分公式在积分中有着广泛的应用。下面我们将通过一些例子来展示如何应用这些公式求解具体的积分问题。

  1. $\int \sin^2 x \mathrm{d}x$

  根据三角恒等式 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$,我们可以将 $\sin^2 x$ 表示为 $1-\cos^2 x$大~强~公~式~网此,

$$\begin{aligned} \int \sin^2 x \mathrm{d}x&=\int (1-\cos^2 x) \mathrm{d}x\\ &=\int \mathrm{d}x-\int \cos^2 x \mathrm{d}x\\ &=x-\frac{1}{2}\int (1+\cos 2x) \mathrm{d}x\\ &=x-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C\\ &=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+C \end{aligned}$$

  2. $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^3}$

  由于 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\frac{1}{2x^2})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x})^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$,

  $$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^3}=-\frac{1}{2x^2}+C$$

  3. $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$

  考虑对 $e^x \sin x$ 进分部积分,令 $u=e^x$,$\mathrm{d}v=\sin x \mathrm{d}x$,则

  $$\begin{aligned} \int e^x \sin x \mathrm{d}x&=e^x \cdot (-\cos x)-\int (-\cos x) \mathrm{d}e^x\\ &=e^x \cdot (-\cos x)-\int e^x \mathrm{d}(-\cos x)\\ &=e^x \cdot (-\cos x)+e^x \cdot \sin x-\int e^x \sin x \mathrm{d}x \end{aligned}$$

移项可得

  $$\int e^x \sin x \mathrm{d}x=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C$$

  4. $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$

令 $x=\sin t$,则 $\mathrm{d}x=\cos t \mathrm{d}t$,

$$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&=\int \frac{\cos t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \mathrm{d}t\\ &=\int \frac{\mathrm{d}t}{\cos t}\\ &=\ln |\sec t+\tan t|+C\\ &=\ln |\frac{1}{x}+\sqrt{1-x^2}|+C \end{aligned}$$

  通过以上例子,我们可以看到三角函数和幂函数的积分公式在求解具体的积分问题时非常有用。需要注意的是,在应用这些公式时,我们需要活运用代数、三角恒等式、元法、分部积分法等数学工具,以更好地解决问题。

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