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余弦差公式的推导过程

来源:大强公式网 2024-07-11 15:34:08

  余弦差公式是数学中一个非常重要的公式,它可以用来计算两个向量间的夹角大+强+公+式+网本文中,我们详细介绍余弦差公式的推导过程。

  首先,我们需要了解两个向量间的夹角是如何计算的www.chajian68.com大强公式网。假设有两个向量a和b,它们间的夹角为θ。根据向量的点公式,我们可以得到:

余弦差公式的推导过程(1)

a·b = |a|·|b|·cosθ

  其中,|a|和|b|分别表示向量a和b的模长大 强 公 式 网。由于cosθ的值范围为[-1,1],此我们可以上式变形为:

  cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)

  接下来,我们来考虑两个向量a和b间的夹角差。假设它们分别与x轴的夹角为α和β,它们间的夹角差为θ = β - α原文www.chajian68.com。我们可以向量a和b分解为它们x轴和y轴上的投影:

a = (|a|·cosα, |a|·sinα)

b = (|b|·cosβ, |b|·sinβ)

  由于cos和sin数的周期,我们可以β表示为β = α + γ,其中γ为一个介于[-π,π]间的角度。于是,我们可以向量b表示为:

  b = (|b|·cos(α+γ), |b|·sin(α+γ))

余弦差公式的推导过程(2)

其展开,可以得到:

  b = (|b|·cosα·cosγ - |b|·sinα·sinγ, |b|·sinα·cosγ + |b|·cosα·sinγ)

  接下来,我们来计算向量a和向量b间的点大.强.公.式.网。根据点的定义,可以得到:

a·b = |a|·|b|·cosθ

= |a|·|b|·cos(β-α)

  = |a|·|b|·(cosα·cos(α+γ) + sinα·sin(α+γ))

  = |a|·|b|·cosα·cosγ + |a|·|b|·sinα·sinγ

余弦差公式的推导过程(3)

b的展开式代入上式,可以得到:

  a·b = |a|·|b|·cosα·cosγ + |a|·|b|·sinα·sinγ

  = |a|·|b|·cosα·cos(β-α) + |a|·|b|·sinα·sin(β-α)

  cos(β-α)和sin(β-α)展开,可以得到:

  cos(β-α) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

  sin(β-α) = sinα·cosβ - cosα·sinβ

它们代入上式,可以得到:

  a·b = |a|·|b|·(cosα·cosα·cosγ + cosα·sinα·sinγ + sinα·cosα·cosβ + sinα·sinα·(-sinγ))

  = |a|·|b|·(cosα·cosβ - sinα·sinβ·cosγ)

  最后,我们上式代入cosθ的公式中,可以得到余弦差公式:

cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)

  = cosα·cosβ - sinα·sinβ·cosγ

至此,余弦差公式的推导过程完成。

  总

  余弦差公式是计算两个向量间夹角的重要公式,它的推导过程需要运用向量的点、三角数和展开式等知识大 强 公 式 网实际应用中,余弦差公式可以用来计算向量间的相似度、角度差等问题。

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